Einführung in die Vektorrechnung

§ 1. Die Vektordefinition und einfachere Gesetzmäßigkeiten.- 1.1 Skalare und Vektoren.- Skalare.- Vektoren.- Der Betrag eines Vektors.- 1.2 Die Summe und die Differenz von Vektoren.- Eigenschaften der Vektorsumme.- Das Kraftpolygon.- Die Vektordifferenz.- 1.3 Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.- Zur Definition.- Beispiele aus der Physik.- Das distributive Gesetz.- 1.4 Einsvektoren.- 1.5 Die lineare Abhängigkeit von Vektoren.- Die Kollinearität.- Die Komplanarität.- Vektoren im dreidimensionalen Raum.- Der Beweis durch Vektorrechnung, daß sich die Diagonalen in einem Parallelogramm gegenseitig halbieren.- Das Raumgitter.- 1.6 Die Zerlegung eines Vektors in Komponenten.- Definition der Vektorzerlegung.- Beispiele aus der Physik.- Zerlegung in orthogonale Komponenten.- 1.7 Das kartesische Koordinatensystem.- Die Kennzeichnung des kartesischen Systems durch seine Koordinatenvektoren.- Ortsvektoren.- Vektorgleichungen in kartesischen Koordinaten.- Die Formulierung physikalischer Gesetzmäßigkeiten in kartesischen Koordinaten.- 1.8 Übungsaufgaben Nr. 1 bis Nr. 14.- § 2. Produkte zweier Vektoren.- 2.1 Das skalare Produkt.- Definitionsmöglichkeiten von Produkten von Vektoren.- Ein Beispiel aus der Physik.- Die Definition des skalaren Produktes.- Eigenschaften des skalaren Produktes.- Eigenschaften, die das skalare Produkt nicht hat.- Sonderfälle von skalaren Produkten.- Zwei Beispiele zu den Sonderfällen des skalaren Produktes.- Die skalaren Produkte der Koordinatenvektoren.- Die skalare Multiplikation eines Vektors mit einem Einsvektor.- 2.2 Geometrische und physikalische Anwendungsbeispiele zum skalaren Produkt.- Der Kosinussatz der ebenen Trigonometrie.- Satz: Die Summe der Quadrate über den Diagonalen eines Parallelogramms ist gleich der Summe der Quadrate über den vier Seiten.- Die Gleichung einer Ebene.- Laues Interferenzbedingung.- Die Millerschen Indizes.- Die Phase einer ebenen Welle.- 2.3 Die Komponentendarstellung des skalaren Produktes.- 2.4 Die Transformation kartesischer Komponenten.- Die Verschiebung des Koordinatensystems.- Die Drehung des Koordinatensystems.- Ein Beispiel: Drehung des Koordinatensystems um die z-Achse.- 2.5 Übungsaufgaben zum skalaren Produkt Nr. 15 bis Nr. 34.- 2.6 Das dyadische Produkt.- Zur Definition.- Eigenschaften des dyadischen Produktes.- 2.7 Die Komponentendarstellung des dyadischen Produktes.- 2.8 Das Vektorprodukt.- Ein Beispiel aus der Geometrie.- Die Definition des Vektorproduktes.- Eigenschaften des Vektorproduktes.- Eigenschaften, die das Vektorprodukt nicht hat.- Sonderfälle von Vektorprodukten.- Zwei Beispiele zu den Sonderfällen des Vektorproduktes.- Die Vektorprodukte der Koordinatenvektoren.- Die vektorielle Multiplikation eines Vektors mit einem Einsvektor.- 2.9 Geometrische und physikalische Anwendungsbeispiele zum Vektorprodukt.- Der Sinussatz der ebenen Trigonometrie.- Der Abstand zweier Geraden.- Der infinitesimale Winkel.- Die magnetische Kraft auf eine bewegte elektrische Punktladung.- Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter.- Das Drehmoment einer Kraft.- Das Drehmoment eines Kräftepaares.- 2.10 Die Komponentendarstellung des Vektorproduktes.- 2.11 Übungsaufgaben zum Vektorprodukt und zum dyadischen Produkt Nr. 35 bis Nr. 43.- § 3. Die Differentiation von Vektoren nach Skalaren.- 3.1 Die Definition des Differentialquotienten eines Vektors nach einem Skalar.- Der Differentialquotient als Grenzwert.- Ein Beispiel: Der Geschwindigkeitsvektor.- Die Differentiation einer Vektorsumme.- Die Differentiation eines Produktes aus Vektor und Skalar.- Ein Beispiel: Differentiation eines Vektors, der als Produkt aus Betrag und Einsvektor dargestellt ist.- Die Differentiation eines Vektors in kartesischen Koordinaten.- Ein Beispiel: die Geschwindigkeit in kartesischen Koordinaten.- Ein Beispiel für mehrfache Differentiation: der Beschleunigungsvektor.- 3.2 Die Differentiation von Produkten von Vektoren.- Die Differentiation des skalaren Produktes.- Die Differentiation des Vektorproduktes.- 3.3 Anwendungsbeispiele aus der Geometrie.- Die Frenetschen Formeln.- 3.4 Anwendungsbeispiele aus der Physik.- Die Rotationsgeschwindigkeit eines starren Körpers.- Die Bewegung einer elektrischen Ladung in einem homogenen Magnetfeld.- Der Flächensatz (zweites Keplersches Gesetz).- Das beschleunigte, jedoch nicht rotierende Bezugssystem.- Das rotierende Bezugssystem.- Die Bewegungsgleichung eines Systems von Massenpunkten.- Das Drehmoment auf ein System von Massenpunkten.- Dralländerung und Drehmoment auf ein System von Massenpunkten.- 3.5 Übungsaufgaben Nr. 44 bis Nr. 55.- § 4. Mehrfache Produkte von Vektoren.- 4.1 Das Spatprodukt.- Definition.- Eigenschaften des Spatproduktes.- Das Spatprodukt in kartesischen Koordinaten.- 4.2 Der Entwicklungssatz.- 4.3 Das gemischte Dreifachprodukt.- 4.4 Die Überschiebung zweier dyadischer Produkte.- 4.5 Anwendungsbeispiele aus der Geometrie.- Der Sinussatz der sphärischen Trigonometrie.- Die Kosinussätze der sphärischen Trigonometrie.- Zu den Frenetschen Formeln.- 4.6 Anwendungsbeispiele aus der Physik.- Das Drehmoment.- Die Energie eines Dipols im elektrischen Feld.- Die induzierte Spannung in einem geradlinigen, bewegten Leiter.- Die Driftgeschwindigkeit geladener Partikel in Gasentladungen.- Das reziproke Gitter.- Die Bedeutung des reziproken Gitters.- Anwendung des reziproken Gitters, die Ewaldsche Ausbreitungskugel.- Die Braggsche Interferenzbedingung.- 4.7 Übungsaufgaben Nr. 56 bis Nr. 66.- § 5. Der Gradient.- 5.1 Das Skalarfeld und der Gradient.- Der Begriff des Gradienten.- Der Gradient in kartesischen Koordinaten.- Die Richtungsableitung einer Ortsfunktion.- Das totale Differential.- Der Gradient einer Summe.- Der Gradient eines Produktes.- Der Gradient der Funktion einer Ortsfunktion.- 5.2 Das Gradientenfeld.- Vektorlinien.- Das Linienintegral eines Gradienten.- Das Potentialfeld.- Die Berechnung von Linienintegralen.- 5.3 Anwendungsbeispiele.- Die Tangentialfläche an eine gekrümmte Fläche.- Physikalische Anwendungen des Potentialbegriffs.- Das elektrostatische Feld.- Die potentielle Energie eines Moleküls mit elektrischem Dipolmoment.- Elektrizitätsleitung und Wärmeleitung.- Die Diffusion.- 5.4 Das Vektorfeld und der Vektorgradient.- Der Begriff des Vektorgradienten.- Die Richtungsableitung in einem Vektorfeld.- Der Vektorgradient in kartesischen Koordinaten.- Der substantielle (oder auch konvektive) zeitliche Differentialquotient in einem strömenden Medium.- Die hydrodynamische Grundgleichung.- Die Reihenentwicklung von Ortsfunktionen.- Die Kraftwirkung eines elektrischen Feldes auf eine Anzahl elektrischer Punktladungen.- 5.5 Übungsaufgaben Nr. 67 bis Nr. 91.- § 6. Die Divergenz und die Rotation.- 6.1 Das Quellenfeld und der Begriff der Divergenz.- Vektorlinien.- Der Vektorfluß.- Vektorröhren.- Die Divergenz.- Die Divergenz einer Summe.- Die Divergenz eines Produktes aus ortsabhängigem Vektor und konstantem Skalar..- Die Divergenz in kartesischen Koordinaten.- 6.2 Der Gaußsche Integralsatz.- Der Gaußsche Satz.- Die Berechnung von Flächenintegralen in kartesischen Koordinaten.- Die Berechnung von Volumenintegralen in kartesischen Koordinaten.- 6.3 Anwendungsbeispiele.- Die Wärmeleitungsgleichung.- Das Strömungsfeld einer inkompressiblen Flüssigkeit.- Das quellenfreie elektrostatische Feld.- Die Herleitung der Grundformel der kinetischen Gastheorie aus dem Virialsatz.- Das elektrostatische Feld einer Punktladung.- Das Feld in der Grenzschicht einer Halbleiter-Diode.- 6.4 Das Wirbelfeld und der Begriff der Rotation.- Die Zirkulation und die Zirkulationsdichte.- Die Rotation.- Der Rotor einer Summe.- Der Rotor eines Produktes aus ortsabhängigem Vektor und konstantem Skalar.- Der Rotor in kartesischen Koordinaten.- 6.5 Der Stokessche Integralsatz.- Die Gesamtzirkulation aneinandergrenzender Flächen.- Der Stokessche Satz.- 6.6 Anwendungsbeispiele.- Der Rotor des Geschwindigkeitsvektors bei der Drehung eines starren Körpers.- Ein Beispiel für ein Strömungsfeld einer laminar strömenden viskosen Flüssigkeit.- Anwendung des Durchflutungsgesetzes zur Feldstärkenberechnung.- Die Maxwellschen Gleichungen.- 6.7 Übungsaufgaben Nr. 92 bis Nr. 117.- § 7. Erweiterte räumliche Differentiation.- 7.1 Der Nabla-Operator.- Die Verallgemeinerung des Gaußschen Satzes.- Der Operator Nabla.- Der Operator Nabla in kartesischen Koordinaten.- Die Invarianz des ?-Operators gegen Drehung des Koordinatensystems.- 7.2 Die räumliche Differentiation von Produkten.- Der Einwirkungspfeil.- grad (S T).- div (S A).- rot (S A).- div (A × B).- div (A B).- rot (A × B).- grad (A · B).- 7.3 Die Kettenregel bei räumlicher Differentiation.- 7.4 Mehrfache räumliche Differentiation.- Die Rotation eines Gradienten.- Die Divergenz einer Rotation.- Der Laplace-Operator.- Anwendung des Laplace-Operators auf Vektoren.- Anwendung des Laplace-Operators auf Produkte.- Die Greenschen Integralsätze.- 7.5 Anwendungsbeispiele.- Die Energiedichte des elektrischen Feldes.- Die Wellengleichung als Folge der Maxwellschen Gleichungen.- Die Eichung des Vektorpotentials.- Die Kontinuitätsgleichung bei kompressiblen Medien.- Erweiterung der Kontinuitätsgleichung auf chemische Reaktionen.- Der Lagrange-Satz über die Wirbelfreiheit.- Das Quadrupolmoment.- 7.6 Übungsaufgaben Nr. 118 bis Nr. 130.- § 8. Zylinder- und Kugelkoordinaten.- 8.1 Zylinderkoordinaten.- Die Koordinaten-Umrechnung.- Die Vektordarstellung in Zylinderkoordinaten.- Die Transformationsgleichungen für Vektoren.- Spezielle Vektoren in Zylinderkoordinaten.- 8.2 Differentiationen in Zylinderkoordinaten.- Die Differentiation der Koordinaten-Einsvektoren.- Der Gradient in Zylinderkoordinaten.- Die Divergenz in Zylinderkoordinaten.- Der Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten.- Die Rotation in Zylinderkoordinaten.- Die Zweckmäßigkeit der Zylinderkoordinaten für zylindersymmetrische Felder.- 8.3 Kugelkoordinaten.- Die Koordinaten-Umrechnung.- Die Transformationsgleichungen für Vektoren.- 8.4 Differentiationen in Kugelkoordinaten.- Die Differentiation der Koordinaten-Einsvektoren.- Der Gradient in Kugelkoordinaten.- Die Divergenz in Kugelkoordinaten.- Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten.- Die Rotation in Kugelkoordinaten.- Die Zweckmäßigkeit von Kugelkoordinaten bei kugelsymmetrischen Feldern.- 8.5 Flächen- und Volumenintegrale in Zylinderkoordinaten.- Das Flächenintegral über eine Kreisfläche.- Das Flächenintegral über eine Zylinderfläche.- Das Flächenintegral über eine Kugelfläche.- Das Volumenintegral über einen zylindrischen Bereich.- Das Volumenintegral über eine Kugel.- 8.6 Anwendungsbeispiele.- Das Hagen-Poiseullesche Gesetz.- Eine besondere Eigenschaft der Funktion S = 1/r.- Anwendung des Greenschen Satzes zur Integration der Poissongleichung.- Aufbau eines Vektorfeldes aus seinen Quellen und Wirbeln.- 8.7 Übungsaufgaben Nr. 131 bis Nr. 148.