Vorlesungen über Zahlentheorie

des ersten Bandes.- Erste Vorlesung.- Alter, Begründung und Abgrenzung der Arithmetik. -- Geschichte der Arithmetik. Die orientalischen Völker. Die Arithmetik bei den Griechen. -- Euklid. Die Elemente. Vollkommene Zahlen. Anzahl aller Primzahlen. Jede arithmetische Reihe enthält unendlich viele Primzahlen. -- Diophant. Theon. Hypatia. -- Die Araber. Die arabischen Ziffern.- Zweite Vorlesung.- Niedergang der Wissenschaft8n im Mittelalter. -- Die Arithmetik im siebzehnten und achtzehnten Jahrhundert. -- Fermat und einige von seinen Sätzen. -- Beweis des sog. kleinen Fermatschen Satzes. -- Die Polygonalzahlen. -- Der sog. grofse Fermatsche Satz: Die Gleichung xn+yn = zn ist nur für n = 2 in ganzen Zahlen lösbar. -- Euler; sein Leben und einige seiner arithmetischen Arbeiten. -- Die vollkommenen und die befreundeten Zahlen. -- Diophantische Probleme. -- Eulers Lösung des Fermatschen Problemes in den Fällen n = 2 und n = 4. -- Die Pellsche Gleichung. -- Das Reciprocitätsgesetz. -- Legendre und sein Essai sur la théorie des nombres.- Dritte Vorlesung.- Die beiden Hauptrichtungen der Arithmetik im neunzehnten Jahrhundert. -- Gauss und der systematische Aufbau der Arithmetik in den disquisitiones arithmeticae. -- Inhaltsübersicht. -- Das Problem der Kreisteilung. -- Dirichlet, Jacobi, Kummer. -- Theorie der algebraischen Zahlen; arithmetische Behandlung dieses Problemes. -- Dirichlet und die Anwendung der Analysis auf Probleme der Zahlentheorie. -- Beispiele: Die Binomiásl- und Polynomialkoefficienten sind ganze Zahlen. -- Einige Untersuchungen Eulers aus diesem Gebiete.- Erster Teil. Teilbarkeit und Kongruenz im Gebiete der Zahlen.- Vierte Vorlesung.- Systematische Arithmetik. -- Der Zahlbegriff. -- Die Ordnungszahlen. -- Die Kardinalzahlen. -- Der Begriff der Anzahl. -- Addition. -- Vertauschbarkeit der Summanden. -- Die Multiplikation. -- Vertauschbarkeit der Faktoren eines Produktes.- Fünfte Vorlesung.- Die Dekomposition der Zahlen. -- Bestimmung der Teiler einer Zahl. -- Die Anzahl der auszuführenden Operationen ist endlich. -- Aufstellung aller Teiler einer Zahl. -- Die Primzahlen. -- Elementare Eigenschaften der Primzahlen. -- Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren. -- Beweis der Eindeutigkeit jener Zerlegung.- Sechste Vorlesung.- Darstellung der ganzen Zahlen durch ihre Exponentensysteme. -- Die Teilbarkeit einer Zahl durch eine andere. -- Die gemeinsamen Teiler zweier Zahlen und ihr gröfster gemeinsamer Teiler. -- Teiler-fremde Zahlen. -- Die gemeinsamen Multipla zweier Zahlen und ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches. -- Ausdehnung auf beliebig viele Zahlen. -- Hauptsätze über die Teilbarkeit der ganzen Zahlen. -- Die Summe der nten Potenzen aller Divisoren einer Zahl.- Siebente Vorlesung.- Die Kongruenz der Zahlen. -- Kongruenz und Äquivalenz. -- Die Grundregeln für das Rechnen mit Kongruenzen.. -- Kongruenzen für einen Primzahlmodul. -- Anwendungen.- Achte Vorlesung.- Die höheren Kongruenzen. -- Aufsuchung ihrer Wurzeln. -- Hauptsätze über die höheren Kongruenzen. -- Anzahl der Wurzeln einer Kongruenz. -- Kongruenzen für einen Primzahlmodul. -- Anwendungen: Der Wilsonsche und der Fermatscho Satz.- Neunte Vorlesung.- Lineare Kongruenzen. Bedingung für ihre Auflösbarkeit. Anzahl ihrer Wurzeln. -- Auflösung der linearen Kongruenzen; erste Me- thode: Reduktion auf lineare Kongruenzen für einen Primzahlmodul. -- Die Einheiten modulo p. -- Beweis des Wilsonschen Satzes. -- Zweite Auflösungsmethode mit Hülfe der Theorie der Kettenbrüche.- Zehnte Vorlesung.- Anwendung der Theorie der linearen Kongruenzen. -- Die Einheiten und die Teiler der Null für einen zusammengesetzten Modul m. -- Die Anzahl ? (m) der. Einheiten modulo m. -- Die Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes. -- Bestimmung der Zahl ? (m). -- Die Ver. allgemeinerung des Wilsonschen Satzes.- Elfte Vorlesung.- Die Invarianten der Kongruenz. -- Arithmetische und analytische Invarianten. -- Jede Invariante der Kongruenz ist eine symmetrische Funktion aller kongruenten Zahlen. -- Arithmetische Untersuchung der Fundamentalinvariante der Kongruenz..- Zweiter Teil. Die Rationalitätsberelehe und die Theorie der Modulsysteme.- Zwölfte Vorlesung.- Die Kongruenz nach einem. Modulsystem. -- Teiler eines Modulsystems. -- Äquivalente Modulsysteme. -- Reduktion der Modulsysteme. -- Theorie der ganzzahligen Formen. -- Äquivalente Formen. -- Einheitsformen.- Dreizehnte Vorlesung.- Die.Rationalitätsbereiche. -- Allgemeine Theorie der Modulsysteme -- Allgemeine Theorie der Formen. Der gröfste gemeinsame Teiler zweier Divisorensysteme. -- Die Komposition der Modulsysteme. -- Anwendungen. -- Die Verallgemeinerung des Fermatschen Theoremes.- Vierzehnte Vorlesung.- Der Rationalitätsbereich von einer Veränderlichen. -- Das Euklidische Verfahren zur Bestimmung des gröfsten gemeinsamen Teilers für diesen Bereich. -- Die Modulsysteme erster und zweiter Stufe. -- Beispiele. -- Reine und gemischte Modulsysteme zweiter Stufe.- Fünfzehnte Vorlesung.- Die reinen Divisorensysteme erster Stufe oder die ganzen ganzzahligen Funktionen. -- Ihre Zerlegung in irreduktible Faktoren. -- Beweis der Eindeutigkeit dieser Zerlegung. -- Hülfssätze.- Sechzehnte Vorlesung.- Die reinen Divisorensysteme zweiter Stufe. -- Ihre charakteristischen Eigenschaften. -- Die Anzahl der inkongruenten Gröfsen ist stets endlich. -- Die Einheiten. -- Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes. -- Komplementäre Einheiten.- Siebzehnte Vorlesung.- Die Dekomposition der reinen Modulsysteme zweiter Stufe (m, fi(x)). -- Zerlegung derselben in die Systeme (ph, fi(x)). -- Reduktion der einfachsten Systeme (p, fi(x)). -- Reduktion der Systeme (p2, fi(x)) und (p3, fi(x)). -- Die reduzierte Form der Systeme zweiter Stufe.- Achtzehnte Vorlesung.- Erste Reduktion eines beliebigen Modulsystemes (ph, fi, ... fv). -- Weitere Reduktion desselben Systemes. -- Beweis, daSs das so gefundene System ein reduziertes ist.- Neunzehnte Vorlesung.- Die Teiler modulo p der ganzen Funktionen von x. -- Der gröfste gemeinsame Teiler modulo p. -- Die Primfunktionen modulo p. -- Die Primmodulsysteme (p, P(x)). -- Ihre Analogie mit den Primzahlen. -- Eindeutigkeit der Zerlegung der ganzen Funktionen in Primfaktoren modulo p. -- Zerlegung des Systemes (p, f (x)). -- Primmodulsysteme und unzerlegbare Modulsysteme. -- Untersuchung des Bereiches [x] für ein Primmodulsystem. -- Der Fermatsche Satz und der Wilsonsche Satz für ein Primmodulsystem. -- Zerlegung der Funktion $$ {{x}^{{{{p}^{n}}}}} $$ -- x modulo p. -- Die einfachen Modulsysteme. -- Ihre Fundamentaleigenschaften. -- Dekomposition eines beliebigen Divisorensystemes in einfache Systeme.- Zwanzigste Vorlesung.- Die Modulsysteme im Bereiche von mehreren Veränderlichen. -- Die Zerlegung der ganzen Gröfsen in ihre Primfaktoren. -- Die Rationalitätsbereiche (x, y, ... z). -- Der Rang oder die Stufe der Divisorensysteme. -- Geometrische Anwendungen. -- Die unzerlegbaren und die Primmodulsysteme. -- Der Bereich {x, y, z} und die zugehörigen Primmodulsysteme. -- Modulsysteme und Linearformen.- Dritter Teil. Anwendung der Analysis auf Probleme der Zahlentheorie.- Einundzwanzigste Vorlesung.- Zahlensysteme. -- Neue Begründung der Fundamentaleigenschaften der Funktion ?(n). -- Beweis einer arithmetischen Identität. -- Die Zahlen ?m. -- Die summatorischen Funktionen. -- Anwendungen: Die Fundamentaleigenschaft der Zahlen ?m. -- Berechnung der Potenzsummen aller inkongruenten Einheiten modulo m.- Zweiundzwanzigste Vorlesung.- Analytischer Beweis der eindeutigen Zerlegbarkeit der Zahlen in ihre Primfaktoren. -- Die Dirichletschen Reihen. -- Ihre Konvergenz. -- Eine Funktion kann nur auf eine Art durch eine Dirichletscbe Reihe dargestellt werden. -- Anwendungen: Analytische Begründung arithmetischer Sätze. -- Bestimmung der Anzahl und der Summe. aller Teiler einer Zahl. -- Untersuchung der Funktion ? (n). -- Analytischer Beweis des Satzes, dafs die Anzahl aller Primzahlen unendlich grofs ist. -- Analytischer Beweis arithmetischer Reprocitätsgleichungen. -- Anwendungen.- Dreiundzwanzigste Vorlesung.- Die Kreisteilungsfunktionen xn -- 1. -- Die primitiven Funktionen Fn(x) und ihre Eigenschaften. -- Die Berechnung der primitiven Funktionen. -- Die Kreisteilungsgleichungen und die Wurzeln der Einheit. -- Die primitiven nten Einheitswurzeln. -- Anwendungen: Die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegebenen Grenze.- Vierundzwanzigste Vorlesung.- Die arithmetische Funktion Xn (M, N). -- Ihre genaue Berechnung -- Anwendung: Bestimmung der Anzahl aller Primzahlen unterhalb einer gegebenen Grenze. -- Näherungsweise Berechnung der Funktion Xn (M, N). -- Die arithmetische Funktion At (A, D). -- Ihr ge nauer Wert. -- Näherungsweise Berechnung dieser Funktion. -- Anwendung: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dafs zwei beliebige Zahlen teilerfremd sind. -- Der Mittelwert arithmetischer Funktionen. -- Berechnung des Mittelwertes mit Hülfe der Eulerschen Summenformel. -- Anwendungen. -- Berechnung des Mittelwertes mit Hülfe der Dirichletschen Reihen.- Fünfundzwanzigste Vorlesung.- Die arithmetischen Funktionen von Zahlensystemen und ihre Mittel- werte. -- Anwendungen: Die mittleren Werte der Funktionen ?(n) und $$ \frac{{\varphi (n)}}{n}. $$. -- Über die arithmetischen Funktionen, welche von den Divisoren einer Zahl abhängen und über die Mittelwerte derselben. -- Die gröfseren und kleineren Divisoren einer Zahl.- Sechsundzwanzigste Vorlesung.- Der Mittelwert für die Anzahl der Divisoren. -- Folgerungen aus diesem Resultate. -- Die Summe der Divisoren. -- Die Summe der reziproken Teiler. -- Die Summe der Logarithmen aller Teiler. -- Der Überschufs der Teiler von der Form 4n + 1 über die von der Form 4n ? 1 und der Mittelwert dieser Anzahl.- Vierter Teil. Allgemeine Theorie der Potenzreste und Beweis des Satzes über die arithmetische Progression.- Siebenundzwanzigste Vorlesung.- Theorie der Potenzreste für einen zusammengesetzten und für einen Primzahlmodul. -- Einteilung der Einheiten modulo p nach dem Exponenten, zu welcliem sie gehören. -- Die primitiven Wurzeln. -- Theorie der Indices für einen Primzahlmodul. -- Jacobis ,,Canon arithmeticus". -- Anwendungen: Die Auflösung linearer Kongruenzen. -- Beweis des Wilsonschen Satzes. -- Auflösung der. reinen Kongruenzen für einen Primzahlmodul.- Achtundzwanzigste Vorlesung.- Die höheren Kongruenzen für einen Primzahlmodul. -- Die Bedingung für die Existenz einer Kongruenzwurzel. -- Erste Herleitung der Bedingungen für die Existenz von s inkongruenten Wurzeln einer Kongruenz. -- Die Systeme oder Matrizen. -- Der Rang der Systeme. -- Zweite Herleitung der Bedingungen für die Existenz von s inkongruenten Wurzeln einer Kongruenz. -- Die recurrierenden Reihen. -- Ihre Ordnung. -- Die Ordnung von ganzzahligen recurrierenden Reihen für einen Primzahlmodul. -- Der Grad des gröfsten gemeinsamen Teilers zweier ganzzahligen Funktionen für einen Primzahlmodul.- Neunundzwanzigste Vorlesung.- Einteilung der Einheiten für einen zusammengesetzten Modul nach dem Exponenten, zu welchem sie gehören. -- Existenzbeweis für die primitiven Wurzeln in Bezug auf eine Primzahlpotenz und das Doppelte einer solchen. -- Die Einheiten modulo 2v. -- Die Indexsysteme der Einheiten für zusammengesetzte Moduln. -- Anwendungen: Die Darstellung aller nicht äquivalenten reduzierten Brüche mit gegebenem Nenner. Die Entwickelung rationaler Brüche nach fallenden Potenzen einer Grundzahl. Die Anzahl der periodischen und nichtperiodischen Glieder dieser Entwickelung. -- Anwendung auf die Theorie der Dezimalbrüche.- Dreifsigste Vorlesung.- Es giebt unendlich viele Primzahlen von der Form mh + r, sobald (m, r) = 1 ist. -- Beweis dieses Satzes für einige spezielle Fälle. --Schärfere Formulierung der Aufgabe. -- Die Charaktere einer Zahl r modulo m. -- Grundeigenschaften der Charaktere. -- Der Hauptcharakter, die reciproken und die ambigen Charaktere.- Einunddreifsigste Vorlesung.- Beispiel: Der Fall m = 4. Die Anzahl der Primzahlen von der Form 4n + 1 und 4n ? 1 ist unendlich grofs. -- Aufstellung der Grundgleichung. -- Abschätzung ihrer einzelnen Bestandteile. Spezialisierung der Grundgleichung für die beiden möglichen Fälle und Beweis des Dirichletschen Satzes.- Zweiunddreifsigste Vorlesung.- Der allgemeine Satz über die Primzahlen in einer arithmetischen Reihe. -- Vereinfachung der Aufgabe. -- Aufstellung der Grundgleichung. -- Abschätzung ihrer Glieder. -- Spezialisierung der Grundgleichung: Die dem Hauptcharakter entsprechende Gleichung. -- Die den übrigen Charakteren entsprechende Gleichung. Beweis des Diricbletschen Satzes. -- Folgerung: Die Primzahlen verteilen sich nahezu gleichmäfsig auf die ?(m) Reihen mx + r.- Dreiunddreifsigste Vorlesung.- Beweis, date die (?(m) -- 1) Reihen $$ \sum {\frac{{{{\Omega }^{{\left( k \right)}}}\left( n \right)}}{n}} $$ von Null verschieden sind. -- Die den ambigen Charakteren entsprechenden Reihen. -- Angabe einer unteren Grenze far ihren Zahlwert. -- Die den komplexen Charakteren entsprechenden Reihen. -- Bestimmung einer unteren Grenze für den absoluten Betrag derselben. -- Über die Anwendung der Dirichletschen Methoden auf höhere Probleme der Arithmetik. -- Die linearen, die quadratischen und die allgemeinen zerlegbaren Formen. -- Die Theorie der Einheiten.- Anmerkungen zum ersten Bande.