Handbuch der Physikalischen Maassbestimmungen

Inhaltsverzeichniss.- Erster Abschnitt. Die Beobachtungsfehler und die Theorie ihrer Ausgleichung..- I. Uebersicht über die möglichen Fehler bei Beobachtungen..- 1. Fehlerquellen.- 2. Fehler der Umgebung.- 3. Fehler der Instrumente.- 4. Fehler des Beobachters.- 5. Schätzungsfehler.- 6. Persönliche Fehler.- 7. Fehler der Voreingenommenheit.- 8. Allgemeine Regel über die Wiederholung von Beobachtungen. Constante Fehler.- 9. Controlirbare und nicht controlirbare Fehler.- 10. Zufällige Fehler.- 11. Unterschied zwischen Untersuchen und Verificiren.- II. Problem der Ausgleichungsrechnung; Messungen und Untersuchungen..- 12. Möglichkeit fehlerfreier Beobachtungen.- 13. Aufgabe der zu schaffenden Analyse.- 14. Wahre Resultate und wahrscheinlichste Resultate; wahre Fehler und wahr-scheinlichste Fehler. Festsetzung über die Bezeichnungen.- 15. Klassificirung der physikalischen Arbeiten.- 16. Messungen und Untersuchungen.- 17. Stellung des Problems.- 18. Fehler der Beobachtungsgleichungen nach ihrem Ansatz, Fehler nach ihrer Ausgleichung.- 19. Der Darstellungsfehler.- 20. Die übrig bleibenden Fehler.- 21. Praktische Vereinfachung durch Abwälzung aller Fehler auf die zu be-stimmende Grösse.- 22. Principielle Notwendigkeit die einzelnen Fehler aus einander zu halten.- 23. Kritische Bedeutung der übrig bleibenden Fehler.- 24. Fassung des Problems.- III. Allgemeine Theorie der Ausgleichungsrechnung..- a) Fehlerwahrscheinlichkeit..- 25. Wahrscheinlichkeit eines Fehlers.- 26. Wahrscheinlichkeit für das Zusammenwirken mehrerer bestimmter Fehler.- 27. Welches Fehlersystem am ehesten zu erwarten ist.- b) Ausgleichung von Messungen..- 28. Ausgleichungsformel für Messungen.- c) Ausgleichung von Untersuchungen..- 29. Ausgleichungsformeln für Untersuchungen.- 30. Die Ausgleichungsformeln bestehen nur, wenn die Wahrscheinlichkeiten der Fehler von den bezüglichen Grössen dieser nicht unabhängig sind.- 31. Die Ausgleichungsformeln ersetzen die Beobachtungsgleichungen in jeder Hinsicht.- 32. Vereinfachung der Ausgleichungsformeln durch Einführung von Näherungs-werten.- d) Die Wahrscheinlichkeitsfunction für Fehler, die ihrer Grösse oder ihrer wahrscheinlichen Ursache nach bekannt sind..- 33. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunction, wenn die in der Unter-suchung wahrscheinlich vorgefallenen Fehler bekannt sind.- 34. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunction, wenn die wahrscheinliche Ursache der Fehler bekannt ist.- 35. Beispiel.- 36. Uncontrolirbare Fehler als zufällige aufgefasst.- Zweiter Abschnitt. Theorie der zufälligen Fehler; Ausgleichung ein-facher Messungen..- IV. Theorie der zufalligen Fehler; Princip des arithmetischen Mittels..- a) Messungen gleicher Schärfe..- 37. Zufällige Fehler können Resultate ebenso gut im Sinne des zu Viel als des zu Wenig verfälschen.- 38. Das Bernouilli'sche ,,Gesetz der grossen Zahlen".- 39. Die Häufigkeiten der einzelnen zufälligen Fehler stehen im Verhältnis zu den bezüglichen Wahrscheinlichkeiten.- 40. Jeder zufällige Fehler darf ebenso oft als positive wie als negative Grösse erwartet werden.- 41. Algebraische Summe aller Fehler von bestimmter Grösse.- 42. Algebraische Summe aller möglichen Fehler.- 43. Uebergang zum Princip des arithmetischen Mittels.- 44. Verhältnis der algebraischen Summe aller Fehler zu der absoluten Summe derselben.- 45. Durchschnittlicher Fehler und Resultirender Fehler.- 40. Erfahrungsmässig fallen grosse Fehler sehr viel seltener vor als kleine.- 47. Der durchschnittliche Fehler nähert sich mit wachsender Anzahl der Messungen einem bestimmten endlichen Grenzwert, der resultirende con-vergirt gegen Null.- 48. Princip des arithmetischen Mittels.- b) Messungen ungleicher Schärfe..- 49. Was einer Messmethode an Schärfe fehlt, kann durch Häufung der Einzel-messungen ersetzt werden.- 50. Ersetzung einer guten Einzelmessung durch mehrere weniger gute Einzel-messungen.- 51. Gewicht einer Messung; Bestimmung äquivalent dem Resultat wiederholter Messungen.- 52. Ausdehnung des Princips vom arithmetischen Mittel auf Bestimmungen ungleicher Schärfe.- 53. Analogieen mit anderen Berechnungen.- 54. Die übrig bleibenden und der resultirende Fehler.- c) Die Wahrscheinlichkeitsfunction für Messungen gleicher Schärfe..- 55. Unterschied zwischen der Ausgleichungsfolrmel und dem Princip des arithmetischen Mittels.- 56. Wahrscheinlichkeitsgesetz für wahre Fehler.- 57. Beziehung zwischen den Constanten A und h.- 58. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in ihrer Abhängigkeit von der Präcision der Messung.- 59. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in ihrer Abhängigkeit von der Grösse desselben. Die Wahrscheinlichkeitscurve.- d) Die charakteristischen Fehler..- 60. Einführung des mittleren Fehlers als desjenigen Fehlers, der bei der gerade benutzten Messmethode seine grösstmögliche Wahrscheinlichkeit besitzt.- 61. Der mittlere Fehler als Maass der Präcision einer Methode.- 62. Die Curve der mittleren Fehler, die Präcisionscurve, ist eine Hyperbel.- 63. Der resultirende und der durchschnittliche Fehler.- 64. Die Wahrscheinlichkeiten der charakteristischen Fehler.- 65. Der mittlere Fehler als Quadratwurzel des mittlern Fehlerquadrats.- 66.-67. Einführung des wahrscheinlichen Fehlers.- 68. Der wahrscheinliche Fehler als die mittlere Nullte Potenz der Fehler.- 69. Satz für die zahlenmässige Berechnung der Präcisionsconstante und der Anzahl der Fehler vom Betrage Null.- e) Andere Formen für das Wahrscheinlichkeitsgesetz; Theorie von Laplace..- 70. Zwei neue Formen für das Wahrscheinlichkeitsgesetz.- 71. Die Laplace'sche Ableitung des Wahrscheinlichkeitsgesetzes.- 72. Notwendige Aenderung.- 73. Specialisirung der der Laplace'schen Theorie zu Grunde liegenden Hypo-thesen; Erweiterung durch Bessel.- 74. Die charakteristischen Fehler nach der Laplace'schen Theorie. Zusammen-hang mit dem grösstmöglichen Fehler.- f) Verteilung der Fehler ihrer Grösse nach..- 75. Das Verteilungsgesetz.- 76. Specielles Beispiel.- 77. Analogie aus der kinetischen Gastheorie.- g) Bestimmungen ungleicher Schärfe..- 78. Zwei Kategorieen.- 79. Wahrscheinlichkeitsfunction.- 80. Zusammenhang zwischen dem wahren mittlern Fehler einer Bestimmung und dem Gewicht derselben.- 81. Anwachsen der Genauigkeit einer Bestimmung mit dem Gewicht.- 82. Verteilung der Fehler in verschieden scharfen Bestimmungsreihen.- 83. Verhältnisse zwischen entsprechcnden Fehlern zweier ungleich scharfer Methoden.- 84. Wie sich die zu erwartenden Fehler ändern, wenn das Gewicht einer Bestimmungsreihe geändert wird.- 85. Die wahrscheinlichsten Werte für die charakteristischen Fehler einer aus Bestimmungen ungleichen Gewichts zusammengesetzten Bestimmungsreihe.- 86. Messungen zu Gruppen zusammen zu fassen ist nur unter besondern Ver-hältnissen zu empfehlen.- h) Wahrscheinlichkeit für Fehlersysteme, Ursprung der Methode der kleinsten Quadrate..- 87. Wahrscheinlichkeit eines Systems von Fehlern.- 88. Die Ausgleichungsrechnung als Methode der kleinsten Quadrate.- 89. Das wahrscheinlichste System von Fehlern ist dasjenige, dessen mittlerer Fehler ein Minimum ist.- 90. Der mittlere Fehler als Fehler, der bei einer Messungsreihe im Ganzen zu erwarten steht. Andere Bedeutung des Axioms vom Minimum des mittleren Fehlers.- V. Uebergang von den wahren Verhältnissen zu den wahrscheinlichsten. Praktische Ausgleichungsrechnung..- 91. Die Praxis kann sich nicht mit wahren, sondern nur mit wahrscheinlichsten Fehlern beschäftigen.- 92. Zwei Gründe, aus denen die charakteristischen Fehler in der Wirklichkeit nicht genau berechnet werden konnen.- 93. Die wahrscheinlichsten Fehler weichen alle um eine und dieselbe Grösse, den resultirenden Fehler, von den wahren Fehlern ab.- 94. Berechnung der charakteristischen Fehler aus den wahrscheinlichsten Fehlern.- 95. Die Rechnungen liefern angenäherte wahre, nicht blos wahrscheinlichste Werte für die charakteristischen Fehler.- 96. Berechnung der Präcision.- 97. Einfluss der Beschränktheit der Messungswiederholungen auf die Be-rechnung der Präcision und der charakteristischen Fehler. Die wahr-scheinliche Unsicherheit dieser Berechnung. Relativ am geringsten ist dieselbe bei der des mittlern Fehlers.- 98. Zusammenfassung.- 99. Unterschied zwischen Theorie und Praxis hinsichtlich der Beurteilung des Resultats einer Messungsreihe.- 100. Die charakteristischen Fehler und die Präcision des Resultats.- 100a. Der mittlere Fehler des Resultats ist zugleich der wahrscheinlichste Fehler desselben.- VI. Uebersicht über die erlangten Ergebnisse..- 101. Gegenstand, Resultate.- a) Theoretische Ergebnisse..- 102. Messungen gleicher Schärfe.- 103. Messungen ungleicher Schärfe.- b) Ergebnisse für die praktische Anwendung..- 104. Das wahrscheinlichste Resultat und die wahrscheinlichsten Fehler.- 105. Die charakteristischen Fehler und die Präcision der einzelnen Messungen.- 106. Charakteristische Fehler und Präcision des Resultats.- 107. Die Zeichen der charakteristischen Fehler und die Bedeutung der Hinzu-fügung dieser zu den Messungen und Resultaten.- VII. Kritik Von Beobachtungen und ihrer Ausgleichung..- 108. Zu discutirende Fragen.- a) Bemerkungen über systematische Fehler..- 109. Systematische Fehler aus der Unkenntnis der Einflüsse, denen die zu messende Grösse unterliegt.- 110. Systematische Fehler in Einrichtung und Ausführung der Messung.- 111. Bedingungen zur Vermeidung und Auffindung systematischer Fehler.- b) Formale Kriterien für die Zufälligkeit übrig gebliebener Fehlerreihen..- 112. Die übrig bleibenden systematischen Yerfälschungen.- 113. Anordnung der Fehlerreihe.- 114. Die beiden Haupteigenschaften der zufalligen Fehler.- 115. Kritik der Grösse der einzelnen Fehler; auszuschliessende Beobachtungen.- 116. Kriterien aus den Zeichen, Zeichenwechsel und Zeichenfolgen.- 117. Seeliger's Formulirung der Zeichen-Kriterien.- 118. Das Abbe'sche Kriterium.- 119 a. Kriterien für die Giltigkeit des Wahrscheinlichkeitsgesetzes.- 119 b. Kriterien aus dem Verteilungsgesetz der Fehler.- 120. Kriterien aus den Beziehungen zwischen den charakteristischen Fehlern.- 121. Zeichenkriterien aus den Differenzenreihen der Fehler.- 122. Kriterien aus dem Verschwinden von Differenzenreihen.- 123. Neue Fassung des Abbe'schen Kriteriums als Satz von der mittlern ersten Fehlerdifferenz.- 124. Beispiel.- 125. Kriterium aus der Zu- und Abnahme der Fehlerbeträge.- 126. Der Wert der Kriterien und die Notwendigkeit eingehender Protokolle.- 127. Zusammenstellung der Kriterien für zufällige Fehlerreihen.- c) Praktischer Wert der charakteristischen Fehler..- 128. Der mittlere Fehler des Resultats als Kriterium für das Erreichte.- 129. Die charakteristischen Fehler der Einzelmessungen als Kriterien für die Methode der Beobachtung.- VIII. Zahlenbeispiel für die Anwendung der Theorie einfacher Messungen..- 130. Die gemessene Grösse.- a) Die Messungen werden le liglich als Zahlenbeispiel für die entwickelten Ausgleichungsformeln benutzt..- 131. Bildung von Gruppenmitteln.- 132. Das wahrscheinlichste Resultat aller Messungen.- 133. Die charakteristischen Fehler der Einzelmessungen, wenn jede Gruppe für sich betrachtet wird.- 134. Die charakteristischen Fehler der Einzelmessungen und des Resultats be-rechnet aus alien Messungen.- 135. Bedeutung des Endergebnisses und seines mittlern Fehlers.- 136. Die charakteristischen Fehler berechnet aus den wahrscheinlichsten Fehlern der Gruppenmittel.- 137. Die Präcision; Berechnung und Erklärung.- 138. Das Wahrscheinlichkeitsgesetz.- b) Die Messungen werden nach ihren Fehlerquellen discutirt, die Fehler auf ihre Zufälligkeit geprüft..- 139. Die Fehlerquellen.- 140. Notwendige Zusammenziehung mehrerer Einzelmessungen zu einer Einzel-messung, um wirklich gleichwertige Messungen zu gewinnen.- 141. Zerlegung der Messungsreihe in zwei Teile, Anordnung in jedem Teile.- 142. Discussion des ersten Teils der Messungen.- 143. Der zweite Teil der Messungen.- 144. Ergebnisse für die Methoden.- Dritter Abschnitt. Zusammengesetzte Messungen, Abschweifung über Determinanten und die Theorie linearer Gleichungen..- IX. Unbedingte zusammengesetzte Messungen..- a) Wahrscheinlichste Ergebnisse..- 145. Begriff zusammengesetzter Messungen.- 146. Notwendigkeit, die Elemente unabhängig von einander zu messen.- 147. Ableitung des wahrscheinlichsten Resultats für einen Satz von Elementen.- 148. Wahrscheinlichstes Resultat bei mehreren Sätzen von Elementen.- 149. Problem der Gewichtsbestimmung einer Function unabhängiger Elemente.- b) Fehler und Präcision..- 150. Fehlerrechnung. Notwendigkeit genaue Messungen vorauszusetzen.- 151. Unterschiede der Fehler zusammengesetzter Messungen gegen die einfacher.- 152. Annahmen über die Fehler zusammengesetzter Messungen.- 153. Wahrscheinlichkeitsfunction zusammengesetzter Fehler.- 154. Die Präcisionsconstante eines zusammengesetzten Fehlers.- 155. Präcision, charakteristischer Fehler und Gewicht zusammengesetzter Messungen.- 156. Giltigkeitsbereich des voraufgehenden Satzes.- 157. Strengerer Beweis für den Fall des mittlern Fehlers.- 158. Specielle Anwendungen.- 159. Principieller Unterschied zwischen einer mehrfach genommenen Messung und einer mehrfach zusammengesetzten Messung. Fortsetzung der Beispiele.- X. Bedingte zusammengesetzte Messungen..- a) Ableitung der wahrscheinlichsten Resultate..- 160. Art der Abhängigkeit der Elemente von einander.- 161. Methode der Elimination überschüssiger Elemente.- 162. Welche Beträge bedingter Elemente als die wahrscheinlichsten zu erachten sind.- 163. Einführung der Verbessemngen.- 164. Die Verbesserungen werden der Bedingung unterworfen, dass sie die grösste Wahrscheinlichkeit für sich haben.- 165. Maximum oder Minimum unter Nebenbedingungen.- 166. Aufstelhmg der Gleichungen fur die Verbesserungen und Correlaten.- 167. Verbesserung der zusammengesetzten Grösse.- b) Fehlerrechnung..- 168. Die beobachteten und ausgeglichenen mittlern Fehler der Elemente.- 169. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Vorbereitende Schritte.- 170. Die Theorie der linearen Gleichungen. In welchem Sinne die Determinanten Verwendung finden sollen.- XI. Abschweifung über Determinanten und lineare Gleichungen..- a) Determinanten..- 171. Definition der Determinanten.- 172. Unveränderlichkeit des Betrages einer Determinante bei gewissen Operationen.- 173. Wann eine Determinante identisch Null ist.- 174. Zerlegung von Determinanten.- 175. Weitere Unveränderlichkeitseigenschaften.- 176. Unterdeterminanten; Entwickelung nach denselben.- 177. Differentialquotienten einer Determinante, Entwickelung nach ihnen.- 178. Beispiele von Entwickelungen von Determinanten, Regeln zur Erleichterung der Entwickelung.- 179. Multiplicationstheorern für Determinanten.- b) Theorie der linearen Gleichungen..- 180. Bedingung für die Existenz eines Systems homogener Gleichungen.- 181. Bedingung für die Existenz nicht homogener Gleichungen.- 182. Auflösung linearer Gleichungen.- 183. Allgemeine Reduction einer Determinante.- 184. Schema für die Ausrechnung (Reduction) linearer Gleichungen.- 185. Die Werte der Unbekannten, zwei Formen.- 186. Verringerung der Operationen für symmetrische Gleichungen.- XII. Bedingte zusammengesetzte Messungen..- Fortsetzung der Fehlerrechnung..- 187a. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Bildung der diese ersetzenden function.- 187b. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Einführung der Uebertragungsgrössen.- 188. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Darstellung der Differential-quotienten und definitive Formel.- 189. Beispiel.- XIII. Zusammengesetzte Messungen mit zum Teil zusammengesetzten Elementen..- c) Ersetzung von Elementen durch andere Elemente..- 190. Art der Abhängigkeit und Berechnung des wahrscheinlichsten Resultats.- 191. Fehlerrechnung für eine Grösse, deren Elemente aus andern beobachteten Elementen zusammengesetzt sind.- 192. Beispiel.- XIV. Kritik zusammengesetzter Messungen..- 193. Beurteilung der Schlussergebnisse, Einführung des zu erwartenden mittlern Fehlers.- 194. Kriterien für das Maass von Sorgfalt, welches den einzelnen Elementen zu widmen ist.- 195. Kriterium für die Wahl des geeignetsten Elementensystems.- 196. Beispiel zur Entscheidung für ein bestimmtes Elementensystem.- 197. Kriterien für die Wahl der Beträge der Elemente.- 198. Beispiel zur Entscheidung über die Beträge der Elemente.- XV. Zusammenstellung der Ergebnisse..- 199. Unbedingte zusammengesetzte Messungen.- 200. Bedingte zusammengesetzte Messungen.- 201. Zusammengesetzte Messungen, bei denen ein Teil der Elemente selbst zusammengesetzte Grössen sind.- 202. Kritik der Messungen und Resultate, Information über die zu wäblende Messungsmethode und das zu wählende Elementensystem.- Vierter Abschnitt. Ausgleichung von Untersuchungen..- XVI. Ableitung der Normalgleichungen..- 203. Aufgabe des Physikers bei Untersuchungen.- 204. Festsetzung über die analytische Darstellung der auszugleichenden Be-ziehungen.- 205. Stellung der Aufgabe.- 206. Die allgemeinen Ausgleichungsformeln.- 207. Verhältnis der Ausgleichungsformeln zu den Beobachtungsgleichungen.- 208. Die Ausgleichungsformeln nach dem Gaussischen Fehlergesetz.- 209. Die Ausgleichungsformeln als Consequenz des Princips vom kleinsten mittlern Fehler.- 210. Allgemeine Fehlergleichungen.- 211a. Allgemeine Normalgleichungen.- 211b. Notwendigkeit eines Näherungsverfahrens bei der Behandlung der allgemeinen Normalgleichungen.- 212. Normalgleichungen für lineare Functionen.- 213. Ausgleichung homogener linearer Functionen.- 214. Zurückführung des allgemeinen Falls auf Ausgleichung linearer Functionen in successiver Näherung.- 215. Andere Methoden Ausgleichungen verwickelter Functionen auf die linearer zurückzuführen.- 216. Die praktischen Fehler- und Normalgleichungen.- XVII. Fehlerrechnung..- a) Beobachtete mittlere Fehler und Gewichte der Beobachtungsgleichungen..- 217. Die beobachteten mittlern Fehler und Gewichte der Beobachtungsgleichungen.- b) Ausgeglichene mittlere Fehler und Gewichte der Beobachtungsgleichungen..- 218 a. Der wahre mittlere Fehler.- 218 b. Der wahrscheinlicbste mittlere Fehler.- 218 c. Genäherter Wert für den wahren mittlern Fehler.- 219. Die mittlere Unsicherheit der charakteristischen Fehler.- 220. Uebergang zu den tatsächlichen Verhältnissen. Formeln.- 221. Ableitung einer besondern Formel für die Fehlerquadratsumme.- 222. Wert der Formel [pv2] = lh+1, h zur summarischen Controle der numerischen Rechnungen.- c) Fehlerrechnung für die ausgeglichenen Grössen..- 223. Die Fehler der Coefficienten als kritisches Hilfsmittel.- 224. Vereinfachung des Problems. Notwendigkeit der Rechnung durch Nähe-rungen.- 225. Entwickelte Formeln für die mittlern Fehler der Coefficienten.- 226. Erste Entwickelung der mittlern Fehler der Coefficienten.- 227. Zweite Entwickelung, Darstellung durch die coordinirten Coefficienten.- 228. Dritte Entwickelung, explicite Formeln.- 229. Vierte Methode, Berechnung aus den AequivalentGrössen. Die mittlern Fehler und Gewichte der AequivalentGrössen.- 230. Fünfte Methode, Ableitung aus der Präcision. Die Normalgleichungen geben die wahrscheinlichsten Coefficienten.- d) Die charakteristischen Fehler von Functionen ausgeglichener Grössen..- 231. Frage nach den mittlern Fehlern von Functionen der Coefficienten.- 232. Darstellung durch die coordinirten Coefficienten.- 233. Entwickelung allgemeiner Formeln.- 234. Berechnung aus den AequivalentGrössen.- 235. Benutzung der vorstehenden Formeln bei Transformationen.- e) Die Fehler des Endresultats..- 236. Endresultat einer Ausgleichung.- XVIII. Untersuchungen mit Nebenbedingungen..- 237. Untersuchungen mit Nebenbedingungen. Stellmg des Problems.- 238. Directe Lösung durch Elimination der überschüssigen Coefficienten.- 239. Ausgleichung nach Bessel. a) Grundlagen.- 239 b. Die Normalgleichungen.- 239 c. Fehler der Beobachtungsgleichungen, Controlformel.- 239 d. Die Fehler der Coefficienten und von Functionen der Coefficienten.- 240. Methode von Hansen und Andrä, Ausgleichung durch die AequivalentGrössen.- XIX. Ausgleichung von einander abhängiger Beobachtungen..- 241. Unabhängige Beobachtungen und abhängige Beobachtungen.- 242. Fälle abhängiger Beobachtungen. Differenz- oder Nullpunktsbeobachtungen. Beispiele.- 243. Zwei Annahmen, um die Yerbindung zwischen Beobachtungsgleichungen zu lösen.- 244a. Normalgleichungen für verbundene Beobachtungsgleichungen. Erste Lösung.- 244b. Zweite Auflösung.- 245. Streng zu erfüllende verbundene Gleichungen.- 246 a.-b. Beispiel für die Ausgleichung verbundener Beobachtungsgleichungen.- XX. Ueber die Form, die man den Beobachtungsgleichungen zu geben hat..- 247. Mit den Beobachtungsgleichungen dürfen vor ihrer Ausgleichung keinerlei Operationen vorgenommen werden, die ihre Gewichte beeinflussen.- 248. Wenn die Gleichungen abgeändert werden, müssen auch ihre Gewichte geändert werden, indessen wird das Resultat unsicherer.- 249. Beispiel 1.- 250. Beispiel 2.- 251. Form der auszugleichenden Beobachtungsgleichungen bei praktischen Rechnungen; Beispiel.- 252. Ausgleichen von Beobachtungsgleiehungen, die nach der darzustellenden Grösse entwickelt sind.- 253. Aufstellung der Beobachtungsgleichungen nach theoretischen Gesichts-punkten.- XXI. Ueber die Bestimmung der Gewichte der Beobachtungsgleichungen..- 254. Berechnung der Gewichte aus den mittlern Fehlern der beobachteten Elemente.- 255. Befreiung von systematischen Verfälschungen, Ausgleichung der beobachteten mittlern Fehler der Gleichungen in sich zur Ableitung genauerer Gewichte.- 256. Beispiel 1.- 257. Beispiel 2.- 258. Mittlere Unsicherheit der berechneten Gewichte.- 259. Wann die Gewichte noch aus den mittlern Fehlern der Elemente berechnet werden dürfen.- 260. Zuziehung anderweitig ausgeführter Untersuchungen zur Ableitung der mittlern Fehler.- 261. Ableitung der Gewichte aus den Messungsanzahlen.- 262. Beobachtungsgleichungen zu Mittelgleichungen zu vereinigen, ist im All-gemeinen nicht zu empfehlen.- XXII. Verallgemeinerung und Zusammenfassung der Ergebnisse; Rechenschemata..- a) Verallgemeinerung der Bedeutung der Entwickelungen..- 263. Die Entwickelungen gelten für irgend welche Formen der Beobachtungsgleiehungen.- 264. Die Entwickelungen sind unabhängig davon, ob die Form der Beobachtungsgleiehungen bestimmt oder hypothetisch ist.- b) Beobachtungsgleiehungen und Fehlergleichungen..- 265..- c) Die Gewichte..- 266..- d) Die Näherungsrechnungen..- 267..- e) Rechenschema für unabhängige und unbedingte Untersuchungen..- 268. Bildung der Normalgleichungen.- 269. Reduction der Normalgleichungen.- 270. Regeln für die Ausführung der Ausgleichung.- 271. Rechenschema für die Ausgleichung.- 272. Controlformel.- f1) Berücksichtigung von Bedingungsgleichungen zwischen den gesuchten Grössen..- 273. Die Normalgleichungen.- 274. Die Reduction.- f2) Beobachtete Grossen haben Bedingungsgleichungen, in welchen noch un-bekannte Grössen enthalten sind, streng zu erfüllen (Erweiterung zu Art. 200)..- 275..- g) Ausgleichung abhängiger Beobachtungen..- 276..- XXIII. Kritik von Untersuchungen..- 277. Kritische Arbeiten vor der Ausgleichung.- 278. Systematische Fehler in den einzelnen Beobachtungsgleichungen.- 279 a. Systematische Verfälschungen der Beobachtungsgleichungen gegen einander. Notwendigkeit von Nebenuntersuchungen.- 279b. Beispiel.- 279 c. Aufhebung der systematischen Verfälschung durch Deutung der durch die Beobachtungsgleichungen erlangten Resultate.- 279 d. Fortführung des Beispiels.- 280. Die Trennung der einzelnen Verfälschungen von einander.- 281. Anordnung der Fehlerreihe nach den vermutlichen Ursachen der systematischen Verfälschungen.- 282. Einführung von Correctionsgliedern zur Berücksichtigung der systematischen Fehler bei den Messungen einzelner Elemente.- 283. Correctionsglieder für systematische Verfälschung der Beträge der Elemente.- 284. Beispiel.- 285. Correctionsglieder wegen allgemeiner systematischer Verfälschung der Beobachtungsgleichungen.- 286. Fälle, in denen systematische Verfälschungen sich nicht durch Correctionsglieder aufheben lassen.- 287. Systematische Verfälschung durch die analytische Form der Beobachtungsgleichungen.- 288. Kritik der Resultate einer Untersuchung.- Fünfter Abschnitt. Interpolation, Differentiation und Quadratur..- XXIV. Interpolation..- 289. Aufgabe.- 290. Graphische Interpolation.- 291. Analytische Interpolation.- 291 a. Darstellung durch algebraische Functionen. Lagrange'sche Interpolationsformel.- 291b. Darstellung durch periodisehe Reihen.- 291c. Die Gaussischen Interpolationsformeln.- 291d. Ausgleichung durch periodische Reihen.- 291 e. Beispiel. Schema für die Berechnung des täglichen Ganges einer Erscheinung aus den 24 Stundenbeobachtungen.- 292. Numerische Interpolation.- 292 a. Interpolationsformel mit Diagonaldifferenzen.- 292 b. Interpolationsformeln mit Zeilen-Differenzen.- 292 c. Extrapolation.- 292 d. Interpolation für mehrere Argumente.- XXV. Differentiation und Integration..- a) Differentiation..- 293. Graphische Differentiation.- 294. Analytische Differentiation.- 295. Numerische Differentiation.- b) Integration..- 296. Graphisches Integriren. (Mechanische Quadratur.).- 297. Analytische Integration.- 297 a. Integration durch die Lagrangesche Interpolationsformel.- 297 b. Die Newton-Cotesschen Integralformeln.- 297 c. Die Gaussischen Integralformeln.- 297 d. Mehrfache Integration durch die Lagrangesche Interpolationsformel.- 297 e. Integration nach mehreren Variabeln.- 297 f. Integration durch periodische Reihen.- 298. Numerische Integration, allgemeine Formel.- 298 a. Besondere Formeln für einfache Integration.- 298 b. Integration von Argument zu Argument.- 298 c. Integration von Intervallmitte zu Intervallmitte.- 298 d. Zweifache Integration.